«
»

Пробки и теория игр

14.05.2012

В связи с успешным окончанием курса по теории игр хочу рассказать еще об одной простой модели, хорошо иллюстрирующей наш мир. В оригинале она называется «Tradegy of commons», что можно перевести как «Трагедия общин», хотя я бы перевел как «Трагедия (драма) общежития», ибо общинами сейчас уже почти не живут, а вот в общежитиях – запросто.

Итак, рассмотрим типичную ситуацию: две дороги сливаются в одну. Пропускная способность слияния падает по мере увеличения интенсивности вливающихся потоков машин. В предельном случае, когда машин очень много, все встают, образовывается мертвая пробка. Пусть из каждого рукава идет поток в q_i машин в час. Допустим также, что пропускная способность падает линейно и равна S = 300-\sum\limits_{i=1}^n q_i (конкретные значения констант сейчас не важны, важна сама идея). В нашем случае n=2. Тогда из каждого потока за час проедет q_iS = q_i(300-q_i-q_{-i}), где q_{-i} – другой поток. Каждый поток будет стараться максимизировать свое количество проехавших машин. Приравняем производную по q_i к нулю, чтобы найти максимум:

300-2q_i-q_{-i}=0

Отсюда

q_i=150-q_{-i}/2

Так как ситуация симметрична для обоих потоков, то каждый из них будет действовать одинаково, и в равновесии их интенсивности сравняются. Обозначим равновесную интенсивность через q_{eq}:

q_{eq}=150-q_{eq}/2

Откуда

q_{eq}=100

То есть в равновесии, к которому будут стремиться участники движения, из каждого потока будет въезжать по 100 машин в час. Посмотрим, сколько из них проедет слияние:

q_{eq}S = 100(300-100-100)=10000

Не нужно удивляться, что проедет больше чем въехало. Число 10000 означается лишь, что въехавшие 100 машин проедут слияние быстрее, чем за час, а конкретнее за 100/10000=1/100 часа. Теперь попробуем максимизировать не количество проехавших машин в каждом рукаве, а общее число машин, проехавших через слияние. Обозначим общий въезжающий поток через q_{total} = q_1+q_2, тогда число машин, проехавших через слияние будет

q_{total}S = q_{total}(300-q_{total})

Возьмем производную по q_{total} и приравняем к нулю для поиска максимума:

300-2q_{total} = 0

Отсюда q_{total}=150. Опять-таки в силу симметричности ситуации для все участников

q_{total} = q_1 + q_2 = 2q_{op}, где q_{op} – оптимальный поток из каждого рукава.

Значит, q_{op} = 150/2=75. Видим, что в этом случае интенсивность каждого потока меньше. Посмотрим, как изменилось количество проехавших через слияние машин для каждого потока:

q_{op}S=75(300-75-75)=11250

Оно выросло! Таким образом получается, что если все участники договорятся, что будут ехать с меньшей интенсивностью, то в результате каждый из них проедет быстрее. В этом-то и заключается трагедия. С ростом числа участников игры ситуация только ухудшается, и в пределе без регулирования равновесная скорость движения каждого участника будет близка к нулю, тогда как при наличии регулирования она будет весьма высокая. Что собственно мы и наблюдаем в пробках.

,



  1. первый раз услышала об это в японии. вряд ли там эта теория настолько популярна, но расстояние между машинами там гораздо больше, факт…

    # kromka, 14.05.2012 в 10:26.